Đại số tuyến tính Ví dụ

$[\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}]$

Bước 1

Lập công thức để tìm phương trình đặc trưng $p (λ)$ .

$p (λ) = định thức (A - λ I_{3})$

Bước 2

Ma trận đơn vị cỡ $3$ là ma trận vuông $3 \times 3$ có đường chéo chính gồm các hệ số một và phần còn lại là các hệ số không.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 3

Thay các giá trị đã biết vào $p (λ) = định thức (A - λ I_{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay $[\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}]$ bằng $A$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] - λ I_{3})$

Bước 3.2

Thay $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ bằng $I_{3}$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Nhân $- λ$ với mỗi phần tử của ma trận.

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 4.1.2

Rút gọn từng phần tử trong ma trận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 4.1.2.2

Nhân $- λ \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 4.1.2.2.2

Nhân $0$ với $λ$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 4.1.2.3

Nhân $- λ \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.3.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 4.1.2.3.2

Nhân $0$ với $λ$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 4.1.2.4

Nhân $- λ \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.4.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 4.1.2.4.2

Nhân $0$ với $λ$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 4.1.2.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 4.1.2.6

Nhân $- λ \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.6.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 4.1.2.6.2

Nhân $0$ với $λ$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 4.1.2.7

Nhân $- λ \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.7.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 4.1.2.7.2

Nhân $0$ với $λ$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 4.1.2.8

Nhân $- λ \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.8.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 4.1.2.8.2

Nhân $0$ với $λ$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 4.1.2.9

Nhân $- 1$ với $1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Bước 4.2

Cộng các phần tử tương ứng với nhau.

$p (λ) = định thức [\begin{array}{c} 5 - λ & 1 + 0 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Bước 4.3

Simplify each element.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Cộng $1$ và $0$ .

$p (λ) = định thức [\begin{array}{c} 5 - λ & 1 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Bước 4.3.2

Cộng $2$ và $0$ .

$p (λ) = định thức [\begin{array}{c} 5 - λ & 1 & 2 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Bước 4.3.3

Cộng $0$ và $0$ .

$p (λ) = định thức [\begin{array}{c} 5 - λ & 1 & 2 \\ 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Bước 4.3.4

Cộng $0$ và $0$ .

$p (λ) = định thức [\begin{array}{c} 5 - λ & 1 & 2 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Bước 4.3.5

Cộng $2$ và $0$ .

$p (λ) = định thức [\begin{array}{c} 5 - λ & 1 & 2 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 2 & 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Bước 4.3.6

Cộng $1$ và $0$ .

$p (λ) = định thức [\begin{array}{c} 5 - λ & 1 & 2 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 2 & 1 & 4 - λ \end{array}]$

Bước 5

Find the determinant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Bước 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Bước 5.1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 4 - λ \end{array} |$

Bước 5.1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 4 - λ \end{array} |$

Bước 5.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 4 - λ \end{array} |$

Bước 5.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 4 - λ \end{array} |$

Bước 5.1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 1 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Bước 5.1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 1 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Bước 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 4 - λ \end{array} | + (1 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 1 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Bước 5.2

Nhân $0$ với $| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 4 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 1 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Bước 5.3

Nhân $0$ với $| \begin{array}{c} 5 - λ & 1 \\ 2 & 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 4 - λ \end{array} | + 0$

Bước 5.4

Tính $| \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 4 - λ \end{array} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) ((5 - λ) (4 - λ) - 2 \cdot 2) + 0$

Bước 5.4.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Khai triển $(5 - λ) (4 - λ)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 (4 - λ) - λ (4 - λ) - 2 \cdot 2) + 0$

Bước 5.4.2.1.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 \cdot 4 + 5 (- λ) - λ (4 - λ) - 2 \cdot 2) + 0$

Bước 5.4.2.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 \cdot 4 + 5 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 2 \cdot 2) + 0$

Bước 5.4.2.1.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.2.1.1

Nhân $5$ với $4$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (20 + 5 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 2 \cdot 2) + 0$

Bước 5.4.2.1.2.1.2

Nhân $- 1$ với $5$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (20 - 5 λ - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 2 \cdot 2) + 0$

Bước 5.4.2.1.2.1.3

Nhân $4$ với $- 1$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (20 - 5 λ - 4 λ - λ (- λ) - 2 \cdot 2) + 0$

Bước 5.4.2.1.2.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (20 - 5 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot 2) + 0$

Bước 5.4.2.1.2.1.5

Nhân $λ$ với $λ$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.2.1.5.1

Di chuyển $λ$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (20 - 5 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot 2) + 0$

Bước 5.4.2.1.2.1.5.2

Nhân $λ$ với $λ$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (20 - 5 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 2) + 0$

Bước 5.4.2.1.2.1.6

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (20 - 5 λ - 4 λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot 2) + 0$

Bước 5.4.2.1.2.1.7

Nhân $λ^{2}$ với $1$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (20 - 5 λ - 4 λ + λ^{2} - 2 \cdot 2) + 0$

Bước 5.4.2.1.2.2

Trừ $4 λ$ khỏi $- 5 λ$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (20 - 9 λ + λ^{2} - 2 \cdot 2) + 0$

Bước 5.4.2.1.3

Nhân $- 2$ với $2$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (20 - 9 λ + λ^{2} - 4) + 0$

Bước 5.4.2.2

Trừ $4$ khỏi $20$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (- 9 λ + λ^{2} + 16) + 0$

Bước 5.4.2.3

Sắp xếp lại $- 9 λ$ và $λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 16) + 0$

Bước 5.5

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $0 + (1 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 16) + 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1.1

Cộng $0$ và $(1 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 16)$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 16) + 0$

Bước 5.5.1.2

Cộng $(1 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 16)$ và $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 16)$

Bước 5.5.2

Khai triển $(1 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 16)$ bằng cách nhân mỗi số hạng trong biểu thức thứ nhất với mỗi số hạng trong biểu thức thứ hai.

$p (λ) = 1 λ^{2} + 1 (- 9 λ) + 1 \cdot 16 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 9 λ) - λ \cdot 16$

Bước 5.5.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.1

Nhân $λ^{2}$ với $1$ .

$p (λ) = λ^{2} + 1 (- 9 λ) + 1 \cdot 16 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 9 λ) - λ \cdot 16$

Bước 5.5.3.2

Nhân $- 9 λ$ với $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 1 \cdot 16 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 9 λ) - λ \cdot 16$

Bước 5.5.3.3

Nhân $16$ với $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 16 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 9 λ) - λ \cdot 16$

Bước 5.5.3.4

Nhân $λ$ với $λ^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.4.1

Di chuyển $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 16 - (λ^{2} λ) - λ (- 9 λ) - λ \cdot 16$

Bước 5.5.3.4.2

Nhân $λ^{2}$ với $λ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.4.2.1

Nâng $λ$ lên lũy thừa $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 16 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 9 λ) - λ \cdot 16$

Bước 5.5.3.4.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 16 - λ^{2 + 1} - λ (- 9 λ) - λ \cdot 16$

Bước 5.5.3.4.3

Cộng $2$ và $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 16 - λ^{3} - λ (- 9 λ) - λ \cdot 16$

Bước 5.5.3.5

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 16 - λ^{3} - 1 \cdot - 9 λ \cdot λ - λ \cdot 16$

Bước 5.5.3.6

Nhân $λ$ với $λ$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.6.1

Di chuyển $λ$ .

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 16 - λ^{3} - 1 \cdot - 9 (λ \cdot λ) - λ \cdot 16$

Bước 5.5.3.6.2

Nhân $λ$ với $λ$ .

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 16 - λ^{3} - 1 \cdot - 9 λ^{2} - λ \cdot 16$

Bước 5.5.3.7

Nhân $- 1$ với $- 9$ .

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 16 - λ^{3} + 9 λ^{2} - λ \cdot 16$

Bước 5.5.3.8

Nhân $16$ với $- 1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 16 - λ^{3} + 9 λ^{2} - 16 λ$

Bước 5.5.4

Cộng $λ^{2}$ và $9 λ^{2}$ .

$p (λ) = 10 λ^{2} - 9 λ + 16 - λ^{3} - 16 λ$

Bước 5.5.5

Trừ $16 λ$ khỏi $- 9 λ$ .

$p (λ) = 10 λ^{2} - 25 λ + 16 - λ^{3}$

Bước 5.5.6

Di chuyển $16$ .

$p (λ) = 10 λ^{2} - 25 λ - λ^{3} + 16$

Bước 5.5.7

Di chuyển $- 25 λ$ .

$p (λ) = 10 λ^{2} - λ^{3} - 25 λ + 16$

Bước 5.5.8

Sắp xếp lại $10 λ^{2}$ và $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 10 λ^{2} - 25 λ + 16$